OpenGL揭秘之推导正交投影变换
本帖最后由 liuzhiyu123 于 2012-10-18 14:22 编辑本文讲述的是关于OpenGL相关矩阵的推导过程，希望对不熟悉OpenGL相关幕后知识的人能有一些帮助。
由于教程里面有图片，所以只好以附件的形式上传
在具体研究之前我觉得有必要把平面投影的分类简单介绍一下，目的是为了让大家有一个总体的认识，从而更好的理解这个知识体系。请看下图：
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平面投影分为平行投影和透视投影两种类型，后者我们在前两篇文章中介绍了。平行投影则是具有矩形观察体的投影方式（透视投影则是视锥观察体），它不会根据物体离视点的远近缩放物体（透视投影则会）。平行投影可以分成侧投影和正交投影两种类型。这两种类型如何区分呢？我们继续看图吧：
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上图中，v是投影平面，n是它的法线。p和q是平面外两点，p’和q’分别是它们在平面上的投影点。q的投影方向向量为Q = 单位化（q’-q），而p的投影方向向量为P = 单位化（p’-p），其中Q不平行于n而P平行于n，则q的投影叫做侧投影，而p的投影叫做正交投影。正交投影是我们今天的研究对象。
实际上上面对平面投影的分类还可以继续向下细分，比如透视投影可以分为一灭点、二灭点以及三灭点透视投影。侧投影则可以继续分为散点侧投、斜二轴侧投等等。而正交投影则可以分成轴侧投影以及多视点正交投影等等。如果读者对此感兴趣，可以参考相关的图形学教程。
接下来我们研究正交投影。分别介绍OpenGL、D3D以及M3G的。我们的环境约定（左右手坐标系、行列向量乘法、CVV范围）仍然尊重相应API自己的设置。
OpenGL正交投影变换
下图是OpenGL的右手坐标系中观察空间的情形，我们看到的是正交投影的矩形观察体，原点是相机位置，n是近裁剪平面到相机平面的距离，f是远裁剪平面到相机平面的距离。p是观察体中的一个点，p’是它投影之后的点。
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投影之后我们有关系：
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因为是正交投影，没有统一的投影射线目标点，因此投影之后的x和y不会变，而z则永远地变成了-n，跑到了投影平面上（我们让投影平面和近裁剪平面重合），它已经没用了，则我们用这个没用的信息保存z（为了之后片元操作的时候用），写为：
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从而在z方向上构建 CVV，使得当z在近裁剪平面的时候，az+b=-1，而z在远裁剪平面的时候az+b=1（OpenGL的CVV的z范围是[-1,1]，我已经说了三遍了，如果读者感到迷惑不解，强烈建议把前两篇文章理解）。我们算出a和b
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然后我们就通过当前的结果反推正交投影矩阵版本一
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接着把x和y建立成CVV情形（简单的线性插值）
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反推正交投影矩阵版本二（最终版本）
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则右边的那个矩阵就是OpenGL的正交投影矩阵，它可以通过glOrtho创建出来。如果你读过并理解了之前两篇文章，你会觉得我的推导越来越简洁利落了：）OpenGL的解决了，下面是D3D的。
D3D正交投影变换
下图是D3D左手坐标系中观察空间的情形。因为是左手坐标系，因此近裁剪平面在z = n平面，而远裁剪平面在z = f平面。
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投影之后，有
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用第三个没用的信息保存z，写为
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使得（D3D的CVV的z范围是）
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反推正交投影矩阵版本一
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对x和y进行CVV线性插值
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分两种情况讨论（如果读者对此不清楚，请参考第二篇文章《深入探索透视投影变换（续）》）：
（1） 投影平面居中，销掉两边的1/2，然后反推正交投影矩阵
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后面那个矩阵就是相应正交投影矩阵，这个也是D3DXMatrixOrthoLH方法所使用的情况。
（2） 一般情况，投影平面不一定居中，直接通过投影结果反推正交投影矩阵
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后面那个矩阵就是相应的正交投影矩阵，这个也是D3DXMatrixOrthoOffCenterLH方法所使用的情况。好了，D3D的也介绍完毕，接下来是M3G的。
M3G正交投影变换
M3G是对OpenGL的封装，因此环境和OpenGL的相同，我们从对x和y的插值来看
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M3G只使用居中的投影平面，因此可以销掉两边的1/2，得到
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接着反推出正交投影矩阵
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最后那个矩阵就是M3G的正交投影矩阵，也就是Camera.setParallel所使用的形式。
内容转自：http://blog.csdn.net/popy007/article/details/1797121 支持一个啊~~ 附件中有帖子全部的内容，结合里面的图片来看，更容易理解，论坛上传图片太费劲了 之前看OpenGL教程这块就没看懂过，数学没学好，这下至少能看懂了，太感谢了 :D
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